Dat hangt ervan af hoe je je DHCP ingesteld heb.
Als je de DHCP ook een Default Gateway laat meegegeven mag het internet geen probleem zijn, maar ik denk dat je die niet meegeeft aan de DHCP clients en dat mensen die via het domein inloggen proxyinstellingen voor IE meekrijgen.

Dit is beveiligingstechnische overigens wel het beste, maar lastig als niet iedereen in je domein zit.
Een oplossing is dan een vast IP adres waar je dus de Default Gateway invult.

Dan zul je het IP van de server als default gateway moeten instellen, of je router rechtstreeks op de switch aansluiten en de server op een gewone poort van de switch aansluiten.

Het zou ook heel goed kunnen dat mensen die geen lid van het domein zijn en zich dus niet authentificeren op de DNS server simpelweg geen rechten hebben om via die server naar de router te gaan.

Het lijkt me echt de beste oplossing om je router gewoon in de upload van je switch te steken, en de server ook in de switch. Zo kunnen mensen die geen lid van het domein zijn ongehinderd je router bereiken en dus het internet op.
Veel makkelijker en veiliger dan iedereen zomaar toegang tot je server te geven, want dan kan een kwaadwillende (al dan niet van buitenaf) ook veel meer.